Что такое потенциал электрического поля
Перейти к содержимому

Что такое потенциал электрического поля

  • автор:

2. Потенциал. Разность потенциалов. Напряжение

Потенциалом называют характеристику электрического поля, которая показывает, какой потенциальной энергией обладает единичный электрический заряд, помещённый в данную точку пространства.

То есть потенциал — это отношение кулоновской энергии заряда к величине этого заряда:
\(\boxed>\). (\(1\))
Потенциал измеряется в \(Дж/Кл\) \(=\) \(В\).

Потенциал однородного электрического поля:
\(\boxed \cdot \vec>\) (\(2\))Поскольку потенциальная энергия может быть представлена в виде \(E=q \varphi\), то работа кулоновских сил:
\(\boxed \). (\(6\))

Напряжение

Напряжением называют отношение работы кулоновских сил по перемещению заряда к величине этого заряда. Численно напряжение равно разности потенциалов между начальной и конечной точкой траектории:
\(\boxed >\). (\(7\))

ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Вычислим работу по перемещению точечного заряда q силой электростатического поля по произвольной траектории из точки 1 в точку 2. Поле при этом считаем произвольным (рис.6.1).

где — проекция напряженности на касательную к траектории в произвольной точке (рис.6.1). Как видно из данной формулы, работа равна криволинейному интегралу, вычисленному вдоль этой траектории.

2. Работа поля точечного заряда.

Более правильно название данного раздела должно звучать так: «Работа электростатического поля, созданного точечным зарядом Q, по перемещению точечного заряда q из точки 1 в точку 2». Но мы с вами и так понимаем, о чем речь.

Начало координат выбрано в точке, в которой находится заряд Q. Из рис.6.2 видно, что . Учитывая, что

, получим: , и окончательно (см. рис.6.2) (6.3)

Можно сделать вывод, что работа электростатического поля, созданного точечным зарядом, а также любого другого центрально-симметричного поля, не зависит от формы пути, а определяется только начальным и конечным положением.

очевидно, что работа поля при перемещении заряда по замкнутому контуру равна 0.

3. Теорема о циркуляции.

Пусть имеется произвольное электростатическое поле, созданное системой из N точечных зарядов. Тогда на основании принципа суперпозиции (4.5) и формулы (6.4) можно записать

Lex: Криволинейный интеграл по произвольному замкнутому контуру от напряженности электростатического поля равен 0. (6.4)

Такого вида интеграл в математике называется циркуляцией вектора, поэтому вышеприведенный закон это теорема о циркуляции напряженности электростатического поля.

rem: Если поле не электростатическое, то закон несправедлив.

4. Циркуляция и ротор(математическое отступление).

Как мы видели в пункте 1, работа электростатического поля оказалась равной криволинейному интегралу, вычисленному вдоль траектории, по которой движется заряд.

Вообще в математике криволинейный интеграл от любой векторной функции по кривой (контуру) L означает следующее. Разделим всю кривую на очень малые элементы и получим векторы с направлениями, определяемыми выбором движения, модули которых равны длинам этих участков; для каждого вычислим скалярное произведение ; просуммируем полученные результаты; переходя к пределу бесконечно малых элементов кривой, получим криволинейный интеграл (или интеграл по контуру).

Пусть теперь в области пространства, в которой определено векторное поле расположена произвольная замкнутая кривая L (рис.6.3).

def: Циркуляцией вектора по произвольному замкнутому контуру L называется криволинейный интеграл Г , (6.7) где — единичный вектор, касательный к контуру L, указывающий направление обхода этого контура.

Фактически интегрируется только касательная составляющая векторного поля Аl, поэтому помимо (6.7) для обозначения циркуляции используют ещё следующие эквивалентные формулы:

Будем, кроме того, считать, что на контуре выбрано положительное направление обхода, то есть направление, при движении, вдоль которого область, ограниченная контуром, остаётся всегда слева (более точно см. ниже).

Вновь вспомним о гидродинамике. Если мы рассмотрим векторное поле скоростей текущей жидкости, и поместим в произвольную точку этой жидкости небольшую турбинку (колёсико с лопастями) то в зависимости от своей ориентации, турбинка будет вращаться с большей или меньшей скоростью. Если вычислить циркуляцию вектора скорости вдоль контура, совпадающего с ободом турбинки, а затем разделить на длину этого обода, то мы получим (в соответствие с теоремой о среднем) некоторое среднее значение проекции скорости частиц жидкости на касательную к контуру vl. Но именно с такой линейной скоростью и будут вращаться лопасти турбинки. Таким образом, чем больше циркуляция вектора скорости, тем с большей скоростью будет вращаться турбинка, помещённая в данную точку жидкости, а это в свою очередь означает, большую завихрённость жидкости в рассматриваемой точке. (Характерный пример — вода, вытекающая из ванны.)

Следует отметить, однако, что характеризовать завихрённость поля непосредственно циркуляцией Г нельзя, поскольку поле может быть очень неоднородным, и степень его завихрённости будет изменяться от точки к точке. Желая же определить такую «локальную» завихрённость, мы должны будем уменьшать размеры контура L, стягивая его в точку. При этом, очевидно, циркуляция будет стремиться к 0. В связи с этим, для характеристики степени завихрённости поля вводят понятие плотности циркуляции, определяя её как предел, к которому стремится отношение циркуляции вектора по контуру L, к площади D S, ограниченной этим контуром, когда данный контур стягивается к рассматриваемой точке пространства. (При этом, соответственно, DS ® 0):

Вычисляя этот предел, мы будем иметь уже некоторое конечное, отличное от нуля число. Однако, это значение будет зависеть от ориентации контура L в поле. Например, как уже говорилось ранее, от ориентации турбинки в жидкости. Изменяя ориентацию турбинки, мы можем получить максимальное и минимальное значения Г (соответствующие двум противоположным ориентациям турбинки, при этом одно из них будет положительным, а другое отрицательным), а также при некоторой ориентации турбинка вообще перестанет вращаться, что соответствует Г=0. Данные обстоятельства показывают, что всё многообразие значений плотности циркуляции векторного поля может быть, вообще говоря, представлено в виде проекции некоторого вектора, на нормаль к площадке контура L. При этом данный вектор по абсолютной величине будет равен максимальному значению плотности циркуляции вектора в рассматриваемой точке пространства, и направлен в сторону, соответствующую направлению нормали к контуру L, при которой плотность циркуляции принимает это максимальное значение.

Данный вектор называется ротором или вихрем векторного поля (от французского (или английского) слова rotation — вращение, или лат. roto- вращаюсь) и проекция этого вектора на любое направление в каждой точке пространства определяется выражением:

Здесь — нормаль к площадке D S, согласованная с направлением обхода контура L правилом правого винта (буравчика) — рис.6.4.

5. Ротор в различных системах координат.

Исходя из определения (6.10) можно получить проекции на единичные векторы различных координатных систем, и определить тем самым

в декартовых координатах:
в цилиндрических координатах:
в сферических координатах:

6. Формула Стокса(математическое отступление).

В математике доказывается следующее соотношение, называемое формулой (теоремой) Стокса, связывающее циркуляцию вектора по контуру L с интегралом от ротора этого вектора по поверхности S, охватываемой данным контуром (рис.6.4а).

Lex: Циркуляция векторного поля вдоль некоторого замкнутого контура L равна потоку ротора этого векторного поля через поверхность S, опирающуюся (натянутую) на этот контур. , (6.14)

При этом направление нормали к поверхности S также должно быть согласовано с направлением обхода контура L по правилу правого винта. Следует отметить, что данное согласование в математике определяется следующим образом:

Наблюдатель, обходящий контур L и направленный по нормали , должен иметь поверхность S слева. При этом обход контура L совершается в положительном направлении. (Или: нормаль в каждой точке поверхности нужно направить в ту сторону, откуда обход контура кажется совершающимся против часовой стрелки.)

7. Ротор в физике.

Понятно, что если циркуляция напряженности электростатического поля равна 0, то и

Если поле имеет ротор, отличный от нуля, то оно имеет некоторую завихренность, например, вода, вытекающая из ванны.

Проведем дальнейшие аналогии с гидродинамикой. На реке скорость течения обычно у берегов меньше, чем на фарватере. Деревянная щепка может служить “ротор-метром”. Она будет вращаться во всех точках, кроме строго центральных. Поэтому ротор этого векторного поля скоростей отличен от нуля.

Чтобы построить электрический “ ротор-метр” — по крайней мере в воображении — следует положительные пробные заряды прикрепить к какому-либо центру на изолирующих спицах. Если в поле эта система будет вращаться, то ротор отличен от нуля. Понятно, что размеры нашего прибора должны быть достаточно малы.

8. Дивергенция и ротор (Как вы это поняли).

На рис.6.7 представлены различные картины векторного поля. Попробуйте сказать, где ротор и дивергенция равны 0, а где нет. При этом прежде всего нужно обратить внимание на контуры интегрирования, заметив, что они выбраны так, чтобы вдоль каждой из сторон, проекция векторов поля имела одно и тоже значение (причём для двух сторон в случаях а, б, г, д она равна 0).

a) вектор постоянен вдоль своего направления, следовательно, дивергенция равна 0.
ротор не равен нулю. Сравните с рекой.
б) Явно виден источник поля. Дивергенция не равна нулю.
Поле центрально — симметричное. Поэтому ротор равен 0.
в) вектор постоянен вдоль своего направления, следовательно, дивергенция равна 0.
Проекции векторов поля на противоположные стороны контура разных знаков, но одинаковы по абсолютной величине, и поэтому при сложении линейных интегралов они уничтожают друг друга. Поэтому ротор равен нулю.
г) вектор постоянен вдоль своего направления, следовательно, дивергенция равна 0.
Вектор убывает по мере удаления от центра поля (за пределами рисунка) поэтому ротор может быть равен 0.
д) вектор постоянен вдоль своего направления, следовательно, дивергенция равна 0.
Вектор не убывает, поэтому линейный интеграл по левой стороне контура не компенсируется таким же интегралом по правой. Поэтому ротор не равен нулю.
е) Явно виден сток поля. Поэтому дивергенция не равна 0.
Так же и ротор не равен нулю, поскольку циркуляция вдоль указанного контура не равна 0, так как проекции векторов поля на все стороны контура одного знака (отрицательны) и при сложении (интегрировании) не компенсируют друг друга.

Подводя итог, ещё раз отметим, что ротор характеризует степень завихрённости векторного поля, его «вращательную составляющую». При этом, однако, нужно иметь в виду, что данная «вращательная компонента» поля может быть обусловлена не только искривлением векторных линий (завихрённость «в чистом виде»), как при вытекании воды из ванны, или в примере е), но и поперечной неоднородностью поля, когда векторные линии — прямые, как в случае течения воды в реке (рис.6.5), или в случае примера а).

9. Потенциальная энергия.

Теперь вспомним механику. Сила называется консервативной, если ее работа не зависит от формы пути. Поле называется потенциальным, если интеграл по замкнутому контуру равен 0. Ясно, что электростатические или кулоновские силы — консервативные, а электростатическое поле потенциальное. Следовательно, можно ввести понятие потенциальной энергии, зная, что работа равна разности потенциальных энергий.

10. Разность потенциалов.

Из (6.16) и (6.1) следует, что

Видим, что отношение работы поля по перемещению заряда к самому этому заряду есть величина, зависящая только от самого поля, т.е. это скалярная характеристика поля, которую назвали разностью потенциалов.

def: Разностью потенциалов между точками 1 и 2 называется отношение работы, совершаемой силой электростатического поля по перемещению заряда между этими точками, к величине этого заряда. (6.18)
rem: · помним, что изменение потенциала , поэтому будем отличать изменение от разности.
· Как для любого вида потенциальной энергии, физический смысл имеет не она сама, а ее разность (или изменение).
· Линии электростатического поля не могут быть замкнуты, иначе вычислив криволинейный интеграл вдоль этой линии (контура) не получим 0. Линии напряженности могут начинаться и заканчиваться на бесконечности или на зарядах.
· Напряженность и потенциал — это два эквивалентных друг другу способа описания электростатического поля. Напряженность — это силовая характеристика, а потенциал — энергетическая.
· Если среда — не вакуум, то потенциал и напряженность в e раз меньше, чем в вакууме. Здесь e — диэлектрическая проницаемость среды.

11. Единица разности потенциалов.

В честь А.Вольта единица разности потенциалов называется 1 Вольт.

def: 1 Вольт — единица СИ разности потенциалов, равная разности потенциалов между двумя точками пространства, при перемещении между которыми заряда в 1 Кулон электростатическое поле совершает работу 1 Джоуль. (6.19)

Если считать потенциальную энергию на бесконечности равной 0, то можно говорить о потенциале точки пространства. Тогда 1 Вольт — это потенциал точки при перемещении из которой на бесконечность заряда 1 Кл электростатическим полем совершается работа 1 Дж.

12. Потенциал точечного заряда.

Мы его вычислили практически в пункте 2. Считая потенциал на бесконечности равным 0, и связывая систему отсчета с зарядом, сразу запишем

(6.20) График данной зависимости показан на рисунке 6.8.

13. Потенциал системы точечных зарядов.

Из (6.18) следует, что

, то есть свойством суперпозиции обладает разность потенциалов. Так как потенциал какой-либо точки можно выбрать произвольно, то , (6.22) то есть сам потенциал также обладает свойством суперпозиции.

14. Потенциал тела с непрерывным распределением заряда.

Очевидно, что в случае непрерывного распределения заряда по телу (см. рис.4.2), потенциал по аналогии с (4.6), можно записать как

Если плотность заряда , то

Интеграл, по прежнему, вычисляется по объему заряженного тела.

15. Измерение разности потенциалов.

Измерить напряженность — весьма непростая задача. Гораздо проще измерить разность потенциалов с помощью электрометров (электростатических вольтметров), устройство и принцип действия которых понятен из рис.6.9.

Измеряется разность потенциалов между стрелкой и корпусом. Так можно измерить разность потенциалов между заряженным проводником и Землей (см. рис.6.10). Электрометр принципиально отличается от электроскопа наличием металлического корпуса. В случае электроскопа роль корпуса играют окружающие предметы, поэтому отклонение стрелки зависит от их расположения. Ясно, что электроскопом измерить разность потенциалов нельзя.

Отметим, что как бы сложна не была форма проводника, электрометр показывает везде один и тот же потенциал (см. рис.6.10).

При попытках измерить потенциал в диэлектрике (в воздухе) на пробном шарике возникнет индукционный заряд, а на стрелке электрометра такой же заряд, но противоположного знака. Возникает сильное искажение первоначального поля. Электрометр, конечно, покажет потенциал стрелки относительно корпуса, однако он будет уже другим.

Следовательно, возникает задача убрать индукционный заряд с пробного шарика. Во-первых, можно подождать довольно долгое время. Тогда заряды сами стекут с пробного шарика, уравняв его потенциал с потенциалом воздуха в данной точке пространства. Во-вторых, этот процесс можно ускорить, ионизовав воздух вокруг шарика. Тогда ионы, разноименные с зарядом шарика, будут переходить на него до тех пор, пока не нейтрализуют индукционный заряд. Так работает электрический зонд. Ионизовать воздух можно различными способами, например, с помощью пламени (пламенный зонд), устройство которого показано на рис.6.11. В-третьих, вместо пробного шарика можно использовать небольшое ведерко с водой. Если в ведре сделать дырку, то утекающая вода будет уносить избыточный заряд.

Перемещая зонд в поле заряженного металлического шара, можно убедиться, что электрометр дает одно и то же показание, если зонд остается на поверхности сферы, центр которой совпадает с центром шара. Если перемещать зонд по радиальным прямым, то показания электрометра будут изменяться сильнее всего.

16. Соединение с Землей.

Чтобы разрядить какое-либо тело, мы соединяем его с заземленным предметом, например, с водопроводным краном, или просто касаемся рукой. При этом мы говорим, что «заряды ушли с проводника в землю».

Более точно явление заключается в следующем. Действие электрического поля мы наблюдаем только тогда, когда есть разность потенциалов между рассматриваемым телом и окружающими предметами. Если же соединить это тело с землей, то разность потенциалов между этим телом и окружающими заземленными предметами исчезает, и, следовательно, исчезает электрическое поле.

Следует заметить, что соединение именно с землей не играет принципиальной роли. Наблюдалось бы то же самое, если бы вместо заземленных предметов, например, стен комнаты, был замкнутый проводник изолированный от земли.

17. Гидростатические аналогии.

В заключении данной лекции вновь вспомним об аналогиях с гидростатикой.

Разность потенциалов можно уподобить разности уровней жидкости в сосуде, а заряд -массе жидкости. Если в двух сообщающихся сосудах уровни жидкости различны, то при их соединении жидкость будет перетекать до тех пор, пока уровни не сравняются (см. рис.6.13). Так же и при соединении двух проводников с разными потенциалами, заряд будет переходить до тех пор, пока не станет равным потенциал. Попробуйте сами определить, какими станут заряды на шарах после их соединения проволокой (рис.6.13).

Потенциал. Разность потенциалов. Напряжение.Эквипотенциальные поверхности

Т.к. потенциальная энергия зависит от выбора системы координат, то и потенциал определяется с точностью до постоянной.

За точку отсчета потенциала выбирают в зависимости от задачи: а) потенциал Земли, б) потенциал бесконечно удаленной точки поля, в) потенциал отрицательной пластины конденсатора.

— следствие принци­па суперпозиции полей (потенциалы складываютсяалгебраически).

Потенциал численно равен работе поля по перемещению единичного положительного заряда из данной точки электрического поля в бесконечность.

В СИ потенциал измеряется в вольтах:

Разность потенциалов

Напряжение — разность значений потенциала в начальной и конечнойточках траектории.

Напряжение численно равно работе электростатического поля при перемещении единичного положительного заряда вдоль силовых линий этого поля.

Разность потенциалов (напряжение) не зависит от выбора

Единица разности потенциалов

Напряжение равно 1 В, если при перемещении положительного заряда в 1 Кл вдоль силовых линий поле совершает работу в 1 Дж.

Связь между напряженностью и напряжением.

Из доказанного выше: →

напряженность равна градиенту потенциала (скорости изменения потенциала вдоль направления d).

Из этого соотношения видно:

  1. Вектор напряженности направлен в сторону уменьшения потенциала.
  2. Электрическое поле существует, если существует разность потенциалов.
  3. Единица напряженности: — Напряженность поля равна1 В/м, если между двумя точками поля, находящимися на расстоянии 1 м друг от друга существует разность потенциалов 1 В.

Вектор напряженности направлен в сторону уменьшения потенциала

Эквипотенциальные поверхности.

ЭПП — поверхности равного потенциала.

— работа при перемещении заряда вдоль эквипотенциальной поверхности не совершается;

— вектор напряженности перпендикулярен к ЭПП в каждой ее точке.

Измерение электрического напряжения (разности потенциалов)

Между стержнем и корпусом — электрическое поле. Измерение потенциала кондуктора Измерение напряжения на гальваническом элементе Электрометр дает большую точность, чем вольтметр.

Измерение электрического напряжения (разности потенциалов)

Потенциальная энергия взаимодействия зарядов.

Потенциальная энергия взаимодействия зарядов

Потенциал поля точечного заряда

Потенциал заряженного шара

а) Внутри шара Е=0, следовательно, потенциалы во всех точках внутри заряженного металлического шара одинаковы (. ) и равны потенциалу на поверхности шара.

б) Снаружи поле шара убывает обратно пропорционально расстоянию от центра шара, как и в случае точечного заряда.

Перераспределение зарядов при контакте заряженных проводников.

Переход зарядов происходит до тех пор, пока потенциалы контактирующих тел не станут равными.

ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ (продолжение)

В предыдущей лекции мы ввели для характеристики электростатического поля скалярный потенциал j . При этом было сказано, что потенциал является энергетической характеристикой электростатического поля, и описание с помощью него свойств поля полностью эквивалентно описанию с помощью напряжённости, являющейся силовой характеристикой этого поля. Рассмотрим теперь более подробно, как связаны друг с другом данные величины. Поскольку в каждой точке пространства у нас теперь помимо вектора задано значение скалярной функции , то есть кроме векторного поля оказывается, определено ещё скалярное, то рассмотрим вначале некоторые сведения из математической теории поля, касающиеся скалярных полей – их структуры и характеристик.

1. Скалярные поля. Понятие градиента(математическое отступление).

def: Если в каждой точке области пространства V задано некоторое число , то говорят, что в этой области пространства определено скалярное поле.
def: Геометрическое место точек, для которых величина u принимает одно и тоже числовое значение С, называется поверхностью уровня, соответствующей числу С. Уравнение этой поверхности: u(x,y,z)=С.

Очевидно, что поверхности уровня, отвечающие различным С заполняют всю область пространства, в которой определено скалярное поле. При этом никакие две поверхности не пересекаются.

Отметим, что плоское поле u(x,y) может быть задано линиями уровня, соответствующими уравнениям вида u(x,y)=C.

Таким образом, структура скалярного поля гораздо проще структуры векторных полей, в которых имеются такие образования как источники поля и различные завихрённости. Скалярное же поле всё состоит из поверхностей уровня и, если мы находимся в некоторой точке пространства, то помимо того к какой поверхности уровня принадлежит эта точка (чему равно значение функции u в этой точке) нас может интересовать ещё только вопрос о том как будет вести себя функция u при смещении из данной точки в соседние – будет ли она возрастать или убывать и сколь быстро. Для ответа на этот вопрос вводят понятие производной по направлению.

Эта «пространственная» производная определяется аналогично обыкновенной.

А именно: если мы из точки радиус–вектор которой сместимся в произвольном направлении на бесконечно малый вектор (рис.7.1а), то значения функции u при этом также изменятся на бесконечно малую величину , определяемую, в соответствии с формулой полного дифференциала функции трёх переменных выражением: . Учитывая формулу для , данное выражение можно рассматривать как скалярное произведение двух векторов: и вектора с компонентами

Этот вектор называется градиентом скалярного поля u, и обозначается: gradu.

Таким образом, . Производная же поля u по направлению, определяемому вектором , может быть формально получена как отношение изменения функции du к расстоянию, на котором это изменение произошло, то есть к (разумеется, более строго как соответствующий предельный переход):

— единичный вектор, определяющий направление, в котором вычисляется производная (7.1). Так как в соответствии с определением скалярного произведения

где a — угол между gradu и вектором . Значит, градиент, это вектор, в направлении которого функция u будет расти с наибольшей скоростью. Производная же функции u в произвольном направлении, определяемом единичным вектором равна, в соответствии с (7.1) проекции gradu на это направление.

Рассмотрим теперь, как связаны друг с другом поверхности уровня и градиенты скалярных полей. Для этого заметим, что если мы сместимся из данной точки пространства на вектор вдоль поверхности уровня, на которой эта точка лежит (рис.7.1б), то функция u при этом не изменится, то есть du=0. Следовательно, , что возможно, если только . Отсюда следует, что градиент скалярного поля перпендикулярен к поверхности уровня в каждой её точке, а это в свою очередь означает, что скалярное поле наиболее быстро растёт в направлении нормали к поверхности уровня, и соответственно, убывает в направлении .

Резюмируя всё сказанное, дадим следующее определение.

(Название — от латинского слова gradiens – шагающий).

Таким образом, для характеристики локальных свойств скалярных полей вводится всего один дифференциальный оператор – градиент, который и содержит в себе всю необходимую информацию об этих полях. Для характеристики же локальных свойств векторных полей (для описания источников и завихрений в этих полях) вводится два дифференциальных оператора – дивергенция и ротор, что ещё раз подчёркивает сложность их структуры в сравнении со скалярными полями.

Следует отметить, что термины и обозначения «дивергенция, градиент, ротор» ввел Максвелл (1873). Именно ему мы обязаны изучением столь сложных вещей.

Рассмотренное выше понятие градиента скалярной функции может быть хорошо проиллюстрировано на следующем примере.

Предположим, что мы имеем дело с функцией только двух переменных u=u(x,y), то есть у нас есть, фактически плоское скалярное поле. Поэтому значения данной функции могу быть представлены некоторой поверхностью в трехмерной системе координат (рис.7.2а).

Стоя на этой поверхности, мы видим, что она в одних направлениях поднимается, а в других опускается. В одном из направлений за один короткий шаг мы поднимаемся выше, чем за шаг той же длины в любом другом направлении. (При этом длина шага измеряется, разумеется, в плоскости XOY)

Градиент функции u в нашем случае, это вектор, совпадающий по направлению с наибольшей крутизной, а его модуль равен наклону, измеренному в этом направлении (то есть тангенсу угла, между этим вектором и его проекцией на плоскость X0Y). Характер распределения градиента показан на рис.7.2б небольшим количеством векторов в разных точках данной плоскости

2. Градиент в различных системах координат(математическое отступление).

3. Связь напряженности и потенциала электростатического поля.

Напомним, что . С другой стороны (по аналогии с предыдущим пунктом) . Сравнивая выражения, находим, что

Вектор напряженности показывает направление наиболее быстрого убывания потенциала.

Предположим, что нам дан план какой-либо местности: в озеро впадает река и рядом гора (рис.7.3). Соединим на этом плане точки одинаковой высоты линиями, причем высоты будем брать через одинаковый интервал, например, 1 м. По такому плану легко определить уклон местности между двумя соседними точками: поделить разность уровней между точками на расстояние между ними. Очевидно, что уклон будет больше там, где линии одного уровня ближе друг к другу.

Это ясно видно и из вертикального разреза местности, сделанного по выделенной на рис.7.3 прямой, что показано на рис.7.4. В какой-нибудь данной точке мы получим наибольший уклон, проведя линию перпендикулярную горизонтали. По таким уклонам и будет стекать вода в данной местности во время дождя.

Вернемся к электричеству. Поверхности уровня в электростатике, или, соответственно, поверхности одинакового потенциала называется эквипотенциальными (от лат. aequus — равный). Их сечения какой-либо плоскостью будем называть эквипотенциальными линями. Тогда в нашем примере горизонтальные линии – это эквипотенциальные линии, уклоны – разности потенциалов, а линии течения воды – линии напряженности. Именно по ним и будут двигаться электрические заряды.

Ясно, что вектор напряженности и эквипотенциальная поверхность перпендикулярны. Обычно эквипотенциальные поверхности (точнее линии) чертят через одинаковую разность потенциалов.

Заметим, что нулевой потенциал выбираем весьма условно. Смысл имеет разность потенциалов. Также как на местности предметом непосредственного наблюдения является разность уровней, и любой из них можно принять за основной.

rem: Для проводников эквипотенциальная поверхность вырождается в эквипотенциальный объем.

4. Эквипотенциальные линии двух точечных зарядов.

На рис.7.5 показаны рассчитанные эквипотенциальные линии двух одинаковых по модулю, но разных по знаку зарядов.

На рис.7.6 то же для одноименных зарядов.

На рис.7.7 показаны эквипотенциальные линии для разноименных неодинаковых по модулю зарядов.

Данные построения полезно сравнить с картинами силовых линий (см. рис.4.6-4.7), чтобы убедиться в их ортогональности.

Наконец на рисунке 7.8 линии напряженности электростатического поля и эквипотенциальные линии показаны одновременно.

Рассмотрим теперь ряд расчетных примеров для сравнительно простых геометрий.

5. Потенциал бесконечной заряженной плоскости.

Напряженность ранее была вычислена (5.11). Зная (7.8), имеем

полагая потенциал на плоскости равным нулю, получаем (рис.7.9)

6. Потенциал двух бесконечных разноименно заряженных плоскостей.

Выражение для напряженности знаем (5.12). Поступая аналогично предыдущему пункту
,

сразу получаем (рис.7.10)

Оба случая достаточно экзотические. Попробуйте рассчитать все то же самое при конечных размерах, например, круглых равномерно заряженных пластин. Это не так трудно, как кажется.

7. Потенциал равномерно заряженной сферы.

Задача сферически симметрична, поэтому ясно, что . Выражение для напряженности знаем (5.13). Вне сферы

Внутри сферы поля нет, поэтому потенциал постоянен. Сшивая значения потенциала на границе (на бесконечности- 0), получаем (7.17), график на рис.7.11.

8. Потенциал равномерно заряженного шара.

Напряженность знаем (5.14). Вне шара все аналогично сфере. Внутри

Сшивая значения потенциала на границе, получаем (7.19) (на бесконечности-0). График на рис.7.12

9. Потенциал равномерно заряженного бесконечно длинного цилиндра.

Задача имеет цилиндрическую симметрию. Напряженность знаем (5.9). Внутри цилиндра расчет аналогичен шару

В итоге получаем (считая, что

Особенно ясно видно, что смысл имеет разность потенциалов, а не сам потенциал (под оператором функции логарифма должна стоять безразмерная величина). График на рис.7.13. Согласитесь, что это очень похоже на профиль земной поверхности с рис.7.4.

rem: В случаях бесконечных распределений зарядов глупо относить нулевой потенциал на бесконечность, так как и там есть заряды. Поэтому в таких случаях лучше располагать нуль где-нибудь поближе.

10. Потенциал равномерно заряженной тонкой нити конечной длины.

Общая длина нити l=l1+l2, линейная плотность заряда t (см.рис.7.14)

Используем формулу для расчета потенциала заряженного тела (6.23)

если l1,l2>>r, т.е. нить бесконечна,

Xорошо видно, что смысл имеет не сам потенциал, а разность потенциалов

что совпадает с формулой (7.22) для наружной области цилиндра.

11. Поверхность нулевого потенциала.

В качестве примера применения принципа суперпозиции рассмотрим задачу о нахождении поверхности нулевого потенциала для двух точечных зарядов. Так как задача симметрична относительно оси, соединяющей заряды, то будем искать линию нулевого потенциала в любой плоскости, проходящей через эту ось. Тогда согласно (6.22) и рис.7.15

Данный потенциал как функция двух переменных для одинаковых по модулю разноименных зарядов показан на рис.7.16.

Очевидно, что нулю он будет равен, если
. Это возможно только для разноименных зарядов. Разрешая последнее уравнение, имеем (7.30)

С осью ОХ (y=0)эта кривая пересекается в точках

см. рис.7.17. Если теперь эту картину повернуть вокруг оси, соединяющей заряды, то получим поверхность нулевого потенциала. Попробуйте поискать эту же линию на рис.7.7.

12. Лапласиан скалярного поля.

В математической теории поля вводится следующее обозначение
(7.32)

где знак D является дифференциальным оператором второго порядка и называется оператором Лапласа.

По сути дела это его определение. Оператор не следует путать со знаком D — изменение. (Смешно, но значки абсолютно одинаковые).

13. Лапласиан в различных системах координат.

В декартовых
В цилиндрических
В сферических

14. Уравнение Пуассона.

Легко получить, используя определение лапласиана, связь между напряженностью и потенциалом и теорему Гаусса, что

Последнее равенство носит название уравнения Пуассона и связывает локальную характеристику поля – потенциал с его источниками, т.е. зарядами. Всюду, где нет зарядов, т.е. r=0, имеет место уравнение Лапласа

15. Пример на решение уравнения Пуассона.

Решим задачу о распределении потенциала внутри равномерно заряженного шара с помощью уравнения (7.37). Задача имеет сферическую симметрию, поэтому от оператора Лапласа остается только радиальный член.

Дважды интегрируя, имеем

Объемная плотность заряда очевидно равна

а постоянная С1=0, чтобы не было расходимости в центре шара. Тогда

Постоянную С2 мы пока находить не умеем, однако параболическая зависимость потенциала внутри шара получена верно (сравните с формулой 7.19 и рис.7.12).

16. Еще раз об операторах поля(математическое отступление).

Проведем некоторые математические обобщения.

Градиент — точки 1 и 2 замыкают кривую

Ротор (формула Стокса) — кривая Lохватывает поверхностьS

Дивергенция (формула Остроградского-Гаусса) — поверхность S охватывает объем V

Физики очень любят краткие обозначения каких-либо сложных понятий. Поэтому они решили обозначать оператор

где последний значок называется «набла-оператор» (оператор Гамильтона). Тогда

17. Пример из географии(или о пользе межпредметных связей).

Приведем пример из географии. На нижнем рисунке показан оцифрованный фрагмент местности где-то вблизи Верхнедырюпинска. Хорошо видна горка, с которой так удобно обозревать окрестности (точка А), и впадина, по которой в дождливую погоду течет Дырюпкин ручей (линия BCD.

По сути дела мы имеем функцию зависимости высоты от географических координат, т.е. функцию двух переменных h=h(x,y).

Теперь подвигайте скроллингом. Вы увидите карту линий равной высоты, а еще выше векторное поле градиента.

На четвертом рисунке показано сечение плоскостью EFGH.

Правда, все это похоже на то, о чем мы говорили выше?!

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *