Что такое участок цепи ответ
Перейти к содержимому

Что такое участок цепи ответ

  • автор:

Топология электрических цепей.

Электрическая цепь характеризуется совокупностью элементов, из которых она состоит, и способом их соединения. Соединение элементов электрической цепи наглядно отображается ее схемой. Рассмотрим для примера две электрические схемы (рис. 1, 2), введя понятие ветви и узла.

Ветвью называется участок цепи, обтекаемый одним и тем же током.

Узел – место соединения трех и более ветвей.

Представленные схемы различны и по форме, и по назначению, но каждая из указанных цепей содержит по 6 ветвей и 4 узла, одинаково соединенных. Таким образом, в смысле геометрии (топологии) соединений ветвей данные схемы идентичны.

Топологические (геометрические) свойства электрической цепи не зависят от типа и свойств элементов, из которых состоит ветвь. Поэтому целесообразно каждую ветвь схемы электрической цепи изобразить отрезком линии. Если каждую ветвь схем на рис. 1 и 2 заменить отрезком линии, получается геометрическая фигура, показанная на рис. 3.

Условное изображение схемы, в котором каждая ветвь заменяется отрезком линии, называется графом электрической цепи . При этом следует помнить, что ветви могут состоять из каких-либо элементов, в свою очередь соединенных различным образом.

Отрезок линии, соответствующий ветви схемы, называется ветвью графа . Граничные точки ветви графа называют узлами графа . Ветвям графа может быть дана определенная ориентация, указанная стрелкой. Граф, у которого все ветви ориентированы, называется ориентированным .

Подграфом графа называется часть графа, т.е. это может быть одна ветвь или один изолированный узел графа, а также любое множество ветвей и узлов, содержащихся в графе.

В теории электрических цепей важное значение имеют следующие подграфы:

1. Путь – это упорядоченная последовательность ветвей, в которой каждые две соседние ветви имеют общий узел, причем любая ветвь и любой узел встречаются на этом пути только один раз. Например, в схеме на рис. 3 ветви 2-6-5; 4-5; 3-6-4; 1 образуют пути между одной и той же парой узлов 1 и 3 . Таким образом, путь – это совокупность ветвей, проходимых непрерывно.

2. Контур – замкнутый путь, в котором один из узлов является начальным и конечным узлом пути. Например, для графа по рис. 3 можно определить контуры, образованные ветвями 2-4-6; 3-5-6; 2-3-5-4 . Если между любой парой узлов графа существует связь, то граф называют связным.

3. Дерево – это связный подграф, содержащий все узлы графа, но ни одного контура. Примерами деревьев для графа на рис. 3 могут служить фигуры на рис. 4.

4. Ветви связи (дополнения дерева) – это ветви графа, дополняющие дерево до исходного графа.

Если граф содержит m узлов и n ветвей, то число ветвей любого дерева , а числа ветвей связи графа .

5. Сечение графа – множество ветвей, удаление которых делит граф на два изолированных подграфа, один из которых, в частности, может быть отдельным узлом.

Сечение можно наглядно изобразить в виде следа некоторой замкнутой поверхности, рассекающей соответствующие ветви. Примерами таких поверхностей являются для нашего графа на рис. 3 S 1 и S 2 . При этом получаем соответственно сечения, образованные ветвями 6-4-5 и 6-2-1-5 .

С понятием дерева связаны понятия главных контуров и сечений:

  • главный контур – контур, состоящий из ветвей дерева и только одной ветви связи;
  • главное сечение – сечение, состоящее из ветвей связи и только одной ветви дерева.

Задать вычислительной машине топологию цепи рисунком затруднительно, так как не существует эффективных программ распознавания образа. Поэтому топологию цепи вводят в ЭВМ в виде матриц, которые называют топологическими матрицами . Выделяют три таких матрицы: узловую матрицу, контурную матрицу и матрицу сечений.

1. Узловая матрица (матрица соединений) – это таблица коэффициентов уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа. Строки этой матрицы соответствуют узлам, а столбцы – ветвям схемы.

Для графа на рис. 3 имеем число узлов m=4 и число ветвей n=6. Тогда запишем матрицу А Н , принимая, что элемент матрицы ( i –номер строки; j –номер столбца) равен 1 , если ветвь j соединена с узлом i и ориентирована от него, -1 , если ориентирована к нему, и 0 , если ветвь j не соединена с узлом i . Сориентировав ветви графа на рис. 3, получим

.Данная матрица А Н записана для всех четырех узлов и называется неопределенной. Следует указать, что сумма элементов столбцов матрицы А Н всегда равна нулю, так как каждый столбец содержит один элемент +1 и один элемент -1 , остальные нули.

Обычно при расчетах один (любой) заземляют. Тогда приходим к узловой матрице А (редуцированной матрице), которая может быть получена из матрицы А Н путем вычеркивания любой ее строки. Например, при вычеркивании строки “4” получим

.Число строк матрицы А равно числу независимых уравнений для узлов , т.е. числу уравнений, записываемых для электрической схемы по первому закону Кирхгофа. Итак, введя понятие узловой матрицы А , перейдем к первому закону Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа

Обычно первый закон Кирхгофа записывается для узлов схемы, но, строго говоря, он справедлив не только для узлов, но и для любой замкнутой поверхности, т.е. справедливо соотношение

где — вектор плотности тока; — нормаль к участку dS замкнутой поверхности S.

Первый закон Кирхгофа справедлив и для любого сечения. В частности, для сечения S 2 графа на рис. 3, считая, что нумерация и направления токов в ветвях соответствуют нумерации и выбранной ориентации ветвей графа, можно записать

Поскольку в частном случае ветви сечения сходятся в узле, то первый закон Кирхгофа справедлив и для него. Пока будем применять первый закон Кирхгофа для узлов, что математически можно записать, как:

т.е. алгебраическая сумма токов ветвей, соединенных в узел, равна нулю.

При этом при расчетах уравнения по первому закону Кирхгофа записываются для (m-1) узлов, так как при записи уравнений для всех m узлов одно (любое) из них будет линейно зависимым от других, т.е. не дает дополнительной информации.

Введем столбцовую матрицу токов ветвей

Тогда первый закон Кирхгофа в матричной форме записи имеет вид:

– где O — нулевая матрица-столбец. Как видим, в качестве узловой взята матрица А , а не А Н , т.к. с учетом вышесказанного уравнения по первому закону Кирхгофа записываются для (m-1) узлов.

В качестве примера запишем для схемы на рис. 3

Отсюда для первого узла получаем

что и должно иметь место.

2. Контурная матрица (матрица контуров) – это таблица коэффициентов уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа. Строки контурной матрицы В соответствуют контурам, а столбцы – ветвям схемы.

Элемент b ij матрицы В равен 1 , если ветвь j входит в контур i и ее ориентация совпадает с направлением обхода контура, -1 , если не совпадает с направлением обхода контура, и 0 , если ветвь j не входит в контур i.

Матрицу В , записанную для главных контуров, называют матрицей главных контуров . При этом за направление обхода контура принимают направление ветви связи этого контура. Выделив в нашем примере (см. рис. 5) дерево, образуемое ветвями 2-1-4 , запишем коэффициенты для матрицы В .

Перейдем теперь ко второму закону Кирхгофа.

Под напряжением на некотором участке электрической цепи понимается разность потенциалов между крайними точками этого участка, т.е.

Просуммируем напряжения на ветвях некоторого контура:

Поскольку при обходе контура потенциал каждой i -ой точки встречается два раза, причем один раз с “+”, а второй – с “-”, то в целом сумма равна нулю.

Таким образом, второй закон Кирхгофа математически записывается, как:

— и имеет место следующую формулировку: алгебраическая сумма напряжений на зажимах ветвей (элементов) контура равна нулю. При этом при расчете цепей с использованием законов Кирхгофа записывается независимых уравнений по второму закону Кирхгофа, т.е. уравнений, записываемых для контуров, каждый из которых отличается от других хотя бы одной ветвью. Значение топологического понятия “дерева”: дерево позволяет образовать независимые контуры и сечения и, следовательно, формировать независимые уравнения по законам Кирхгофа. Таким образом, с учетом (m-1) уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, получаем систему из уравнений, что равно числу ветвей схемы и, следовательно, токи в них находятся однозначно.

Введем столбцовую матрицу напряжений ветвей

Тогда второй закон Кирхгофа в матричной форме записи имеет вид

В качестве примера для схемы рис. 5 имеем

откуда, например, для первого контура получаем

что и должно иметь место.

Если ввести столбцовую матрицу узловых потенциалов

причем потенциал последнего узла , то матрица напряжений ветвей и узловых потенциалов связаны соотношением

где A Т — транспонированная узловая матрица.

Для определения матрицы В по известной матрице А = А Д А С , где А Д – подматрица, соответствующая ветвям некоторого дерева, А С — подматрица, соответствующая ветвям связи, может быть использовано соотношение В = ( -А Т С А -1Т Д 1 ).

3. Матрица сечений – это таблица коэффициентов уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для сечений. Ее строки соответствуют сечениям, а столбцы – ветвям графа.

Матрица Q , составленная для главных сечений, называется матрицей главных сечений . Число строк матрицы Q равно числу независимых сечений.

Элемент q ij матрицы Q равен 1 , если ветвьвходит в i -е сечение и ориентирована согласно направлению сечения (за положительное направление сечения принимают направление ветви дерева, входящей в него), -1 , если ориентирована противоположно направлению сечения, и 0 , если ветвь j не входит в i -е сечение.

В качестве примера составим матрицу Q главных сечений для графа на рис. 5. При указанной на рис. 5 ориентации ветвей имеем

В заключение отметим, что для топологических матриц А , В и Q , составленных для одного и того же графа, выполняются соотношения

которые, в частности, можно использовать для проверки правильности составления этих матриц. Здесь 0 – нулевая матрица порядка .

Приведенные уравнения позволяют сделать важное заключение: зная одну из топологических матриц, по ее структуре можно восстановить остальные.

1. Теоретические основы электротехники. Т.1. Основы теории линейных цепей./Под ред. П.А.Ионкина. Учебник для электротехн. вузов. Изд.2-е , перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1976.-544с.

2. Матханов Х.Н . Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи.: Учеб. для электротехн. и радиотехн. спец. 3-е изд. переработ. и доп. –М.: Высш. шк., 1990. –400с.

3. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

Контрольные вопросы и задачи

  1. Сформулируйте основные топологические понятия для электрических цепей.
  2. Что такое узловая матрица?
  3. Что такое контурная матрица?
  4. Что такое матрица сечений?
  5. Токи ветвей некоторой планарной цепи удовлетворяют следующей полной системе независимых уравнений: . Восстановив граф цепи, составить матрицы главных контуров и сечений, приняв, что ветвям дерева присвоены первые номера. Ответ:

Участок цепи, состоящий из двух одинаковых резисторов, соеди­ненных первый раз последовательно, а второй раз параллельно

подключается к источнику тока, обеспечивающему в обоих случаях одинаковое напряжение на его концах. Сила тока через участок цепи во втором случае 1) в 2 раза меньше, чем в первом случае 2) в 2 раза больше, чем в первом случае 3) в 4 раза больше, чем в первом случае 4) в 4 раза меньше, чем в первом случае Ответ аргументируйте

Голосование за лучший ответ

в первом случае Rобщ = R1+R2 = 2R, во втором Rобщ = 1/(R1+R2) = 1/(2R), I = U/R. дальше считай сам.

первый случай R=R1+R2=2R1; I=U/2R1
второй случай R=R1*R2/(R1+R2)=R1^2/2R1=R1/2; I=2U/R1
Ответ №3) — в 4 раза больше

Похожие вопросы

Закон Ома

Физика — наука эмпирическая. Ее основные законы вытекают из практического опыта и частенько много лет не имеют теоретических обоснований. Именно так обстоит дело с главным законом электротехники, который открыл в 1826 году выдающийся немецкий ученый Георг Симон Ом.

Электрические явления люди наблюдали сотни лет. Но никак не связывали между собой заряженность потертого янтаря и молнию. Только на исходе XVIII столетия электричество стали внимательно исследовать. В 1795 году Алессандро Вольта изобрел «вольтов столб», химическую батарею, и обнаружил появление тока в проводнике, соединяющем ее полюса. Сферы применения электричества стремительно множились, и появилась острая необходимость в расчетных формулах для инженеров. Эту задачу решали многие ученые, но первым сформулировал главную формулу электротехники именно Георг Ом. Он ввел в обиход понятие сопротивления и опытным путем установил зависимость между основными характеристиками электрической цепи.

Определение закона Ома простыми словами

Электрическая цепь состоит из двухполюсного источника напряжения, то есть батареи, аккумулятора или генератора. Если полюса источника соединить проводами, то по ним потечет электрический ток. Его величина определяется сопротивлением проводников. Наглядное представление этой зависимости — обыкновенный водопровод. Аналогом источника напряжения является насос или водонапорная башня, создающая давление в магистрали, количество воды, прошедшее по трубе, — подобие силы тока, а кран соответствует сопротивлению. Полностью открытый, он не ограничивает поток, по мере закручивания отверстие для воды уменьшается, пока не закроется совсем.

Закон Ома для участка цепи

Опытным путем исследователь установил взаимосвязь характеристик электрической цепи. Классическая формулировка закона Ома звучит так:

«Сила тока на участке цепи прямо пропорциональна напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению».

Формула закона Ома для участка цепи

В таком виде закон Ома приведен в школьных учебниках физики. Согласно этой простой формуле, для определения уровня тока в проводнике достаточно величину напряжения на его сторонах разделить на некий условно постоянный коэффициент, то есть на сопротивление. Почему «условно»? Потому что величина сопротивления может меняться в зависимости от температуры. Поэтому, кстати, лампы накаливания чаще всего перегорают при включении. Сопротивление холодной спирали ниже, чем нагретой, скачок тока при подаче напряжения вызывает ее резкое расширение и разрыв. Но если этот момент преодолен и нить накала уцелела, то ее сопротивление растет, и ток ограничивается. А при температуре жидкого гелия, например, сопротивление падает до нуля, наступает сверхпроводимость.

Закон Ома для замкнутой полной цепи

Предыдущая формулировка годится только для участка цепи, где отсутствует сам источник электродвижущей силы. В реальности ток течет по замкнутому контуру, где обязательно есть батарея или генератор, имеющий собственное внутреннее сопротивление. Поэтому формула закона Ома для полной цепи выглядит несколько сложнее

Формула закона Ома для замкнутой полной цепи

Применение закона Ома

Георг Ом дал в руки инженеров средство для решения задач, связанных с электрическими цепями. Тепловые и световые приборы, электродвигатели, генераторы, линии электропередач, кабели связи рассчитываются на основе этой простой формулы. Нет такой области электротехники, где она не находит применения. Даже в радиотехнике используется закон Ома, но в дифференциальной форме. «Все гениальное — просто», как считали Еврипид, Леонардо да Винчи, Наполеон Бонапарт и Альберт Эйнштейн, несомненные гении. Закон Ома целиком и полностью подтверждает эту истину.

Различные электрические цепи

На рисунке показан участок цепи постоянного тока. Каково сопротивление этого участка, если \(r\) = 2 Ом? (Ответ дайте в омах.)

При параллельном соединении проводников сопротивление участка цепи равно: \[\dfrac = \dfrac+\dfrac = \dfrac \; \; \; \Rightarrow \; \; \; R = \dfrac\] Общее сопротивление цепи при последовательном соединении резистора с сопротивлением \(r\) и участка цепи с сопротивлением \(\dfrac\) равно: \[R_>=r+\dfrac= 5 \text< Ом>\]

Задание 2 #11178

На фотографии — электрическая цепь. Показания вольтметра даны в вольтах. Чему будут равны показания вольтметра, если его подключить параллельно резистору 2 Ом? Вольтметр считать идеальным. (Ответ дайте в вольтах.)

Согласно закону Ома сила тока равна: \[I=\dfrac=\dfrac>>=0,6 \text< А>\] Так как все резисторы соединены последовательно, то сила тока, протекающего через каждый резистор, будет одинкова для первого и второго случая.
Тогда напряжение в цепи во втором случае равно: \[U_2=IR_2=0,6\text< А>\cdot2\text< Ом>=1,2 \text< В>\]

Задание 3 #11179

На участке цепи, изображенном на рисунке, сопротивление каждого из резисторов равно \(R\) = 1 Ом. Чему равно полное сопротивление участка при замкнутом ключе К? (Ответ дайте в омах.)

При замыкании ключа К два параллельно соединенных резисторов выпадают из цепи.
Полное сопротивление равно: \[R_>=R=1 \text< Ом>\]

Задание 4 #11180

Какая мощность выделяется в резисторе \(R_2\) , включённом в электрическую цепь, схема которой изображена на рисунке? \(R_1\) = 3 Ом, \(R_2\) = 2 Ом, \(R_3\) = 1 Ом, ЭДС источника 5 В, внутреннее сопротивление источника пренебрежимо мало. (Ответ дайте в ваттах.)

Общее сопротивление цепи равно: \[R_>=\dfrac=\dfrac \text< Ом>\] Из закона Ома для полной цепи: \[I=\dfrac+r>= \dfrac><\dfrac\text< Ом>> =6 \text< А>\] где \(I\) — сила тока, \(\varepsilon\) — ЭДС источника, \(r\) = 0.
При параллельном соединении ток распределяется обратно пропорционально сопротивлениям.
Ток, протекающий через 1 и 2 резистор \(I_1\) = \(I_2\) = 1 А, через 3 резистор \(I_3\) = 5 А.
Тогда мощность на втором резисторе равна: \[P_2=I_2^2R_2= (1\text< А>)^2 \cdot 2\text < Ом>= 2 \text< Вт>\]

Задание 5 #11181

Каждый из резисторов в схеме, изображённой на рисунке, имеет сопротивление 150 Ом. Каким будет сопротивление участка цепи, если ключ К замкнуть? (Ответ дайте в омах.)

При замыкании ключа К два параллельно соединенных резисторов выпадают из цепи.
Полное сопротивление в цепи равно: \[R_>=R=150 \text< Ом>\]

Задание 6 #11182

На участке цепи, изображённом на рисунке, сопротивление каждого из резисторов равно \(R\) = 1 Ом. Чему равно полное сопротивление участка при замкнутом ключе К? (Ответ дайте в омах.)

При замыкании ключа К через первый резистор ток не течет.
Тогда полное сопротивление равно сопротивлению на участке цепи, состоящем из трех последовательно соединенных резисторов: \[R_>=3R=3 \text< Ом>\]

Задание 7 #11183

Два резистора включены в электрическую цепь параллельно, как показано на рисунке. Значения силы тока в резисторах \(I_1\) = 0,8 А, \(I_2\) = 0,2 А. Чему равно отношение сопротивлений резисторов \(\dfrac\) ?

При параллельном соединении напряжения на обоих резисторах одинаковы: \(U_1\) = \(U_2\) .
Исходя из закона Ома: \[I_1R_1=I_2R_2\] \[\dfrac=\dfrac=\dfrac>>=0,25\]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *