Что такое соотношение в физике
Перейти к содержимому

Что такое соотношение в физике

  • автор:

Савельев И.В. Курс общей физики, том I

Главная цель книги — познакомить студентов прежде всего с основными идеями и методами физики. Особое внимание обращено на разъяснение смысли физических законов и на сознательное применение их. Несмотря на сравнительно небольшой объем, книга представляет собой серьезное руководство, обеспечивающее подготовку, достаточную для успешного усвоения в дальнейшем теоретической физики и других физических дисциплин.

Предисловие к четвертому изданию

При подготовке к настоящему изданию книга была значительно переработана. Написаны заново (полностью или частично) параграфы 7, 17, 18, 22, 27, 33, 36, 37, 40, 43, 68, 88. Существенные добавления или изменения сделаны в параграфах 2, 11, 81, 89, 104, 113.

Ранее, при подготовке ко второму и третьему изданиям были написаны заново параграфы 14, 73, 75. Существенные изменения или добавления были внесены в параграфы 109, 114, 133, 143.

Таким образом, по сравнению с первым изданием облик первого тома заметно изменился. Эти изменения отражают методический опыт, накопленный автором последние десять лет преподавания обшей физики в Московском инженерно-физическом институте.

Ноябрь 1969 г. И. Савельев

Из предисловия к четвертому изданию

Предлагаемая вниманию читателей книга представляет собой первый том учебного пособия по курсу общей физики для втузов. Автор в течение ряда лет преподавал общую физику в Московском инженерно-физическом институте. Естественно поэтому, что пособие он писал имея в виду прежде всего студентов инженерно-физических специальностей втузов.

При написании книги автор стремился познакомить учащихся с основными идеями и методами физической науки, научить их физически мыслить. Поэтому книга не является по своему характеру энциклопедичной, содержание в основном посвящено тому, чтобы разъяснить смысл физических законов и научить сознательно применять их. Не осведомленности читателя по максимально широкому кругу вопросов, а глубоких знаний фундаментальным основам физической пауки — вот что стремился добиться автор.

Глава 2. Количественные соотношения в физике полупроводников

2.1. Распределение Ферми. Плотность квантовых состояний

В предыдущих разделах приведено качественное описание собственной и примесных проводимостей. Для количественной характеристики этих проводимостей, а также для определения зависимости проводимостей от температуры и других факторов нужно знать концентрацию подвижных носителей (электронов и дырок) в различных условиях. Эта концентрация может быть найдена только из зонной теории твердого тела. Ниже приводится упрощенное определение концентрации свободных носителей в собственных и примесных полупроводниках и смещение уровня Ферми в примесных полупроводниках, использующееся при дальнейшем изложении. Для определения концентрации носителей в зонной теории используется функция распределения Ферми — Дирака, заимствованная из статистической физики, и плотность квантовых состоянии g(W) (плотность энергетических уровней ) в определенном энергетическом диапазоне dW , заимствованная из квантовой механики. Все остальные математические положения зонной теории вытекают из этих двух посылок.

2.2. Функция распределения Ферми – Дирака

Из физики известно, что положение электрона может быть определено лишь в вероятностном смысле. Распределение Ферми — Дирака дает вероятность fn(W) того, что любой частный уровень энергии W занят электроном /3,4/:

, (2.1)

где WF уровень Ферми, вероятность занятия его разна 1/2,

T — абсолютная температура по Кельвину;

k — постоянная Больцмана.

В невырожденных состояниях WWF >> кТ и распределение (2.1) переходит в классическое распределение Больцмана – Максвелла:

. (2.1)

2.3. Плотность квантовых состояний

Из квантовой механики известно, что почетность квантовых состояний в разрешенных зонах изменяется по определенным законам.

В частности, для нижнего края зоны проводимости и верхнего края валентной зоны плотность квантовых состояний g(W) (плотности энергетических уровней) в узком диапазоне энергии dW на уровне W определяется следующим выражением /3,4/ (а единицах объема – уровни/(Джсм 3 ) ):

, (2.3 )

где Wгр — энергия границы зоны (верхнего края валентной зоны или нижнего края зоны проводимости);

, (2.4)

mэф — эффективная масса (электрона — в зоне проводимости, дырки — в валентной зоне);

h — постоянная Планка.

2.4. Концентрация носителей в зонах

Концентрация электронов dn в диапазоне энергий dW около уровня W в зоне проводимости может быть определена как произведение вероятности fn(W) занятия электронами уровня W на количество уровней g(W) dW в этом диапазоне:

.

Тогда концентрация электронов n по всей зоне проводимости определится интегрированием dn от нижнего края Wc в глубь зоны (для невырожденных полупроводников в зоне проводимости справедливо (2.2)):

, (2.5)

. (2.6)

Интеграл (2.5) приводится к табличному подстановкой .Nc называют эффективной плотностью состояний в зоне проводимости. Практически — это максимально возможная концентрация n в невырожденном состоянии, равная приблизительно 510 19 см 3 . CC — коэффициент из (2.4), в котором mэф — эффективная масса электрона в зоне проводимости.

Концентрация дырок в валентной зоне находится таким же образом, только вместо fn(W) подставляется вероятность появления дырки в валентной зоне fp(W), равная вероятности отсутствия электрона на этом уровне:

.

а интегрирование по W производится от верхнего края вглубь валентной зоны:

, (2.7)

. (2.8)

называют эффективной плотностью состояний в валентной зоне. Практически равна максимальной концентрации дырок в невырожденном состоянии:Nc.

=1,7 и 2,8 для Ge и Si, т.е. эти значения близки, поэтому – коэффициент из (2.4), гдеmэф эффективная масса дырки в валентной зоне.

Концентрация свободных носителей n, p в (2.5) и (2.7) определена при заданной температуре Т 0 через неизвестный уровень Ферми WF. В общем случае уровень Ферми сам является функцией концентрации носителей. Общее решение этой задачи довольно сложно, но для некоторых частных случаев уровень Ферми WF может быть легко найден. Ниже находится используемый в последующем изложении уровень Ферми для собственного и примесного полупроводников при температуре 300 К. Уровень WF определяется при тепловом равновесии из условий электрической нейтральности полупроводника (закона сохранения заряда).

Зептосекунды: 2. Энергия, время и соотношение неопределенностей

Соотношение неопределенностей энергия–время для фотонов: чем короче световой импульс, тем больше разброс энергий у фотонов: Δt·ΔE ~ ℏ , где ℏ — постоянная Планка. Для очень коротких импульсов, в которых успевает произойти лишь несколько колебаний, можно разброс энергий заменить на типичную энергию E

Здесь самое время рассказать про одно важное свойство квантового мира, которое очень помогает при оценке сверхкоротких промежутков времени. Называется оно соотношением неопределенностей энергии и времени. Начнем с простого, но важного утверждения:

квантовая механика говорит, что никакие явления не могут происходить мгновенно.

Более того, если известны типичные энергии E, задействованные в каком-то процессе, то этот процесс должен длиться как минимум время

t ~
E

Величина ℏ ≈ 10 −34 Дж·c — это постоянная Планка, фундаментальная константа, характеризующая все квантовые процессы. Это соотношение можно и обратить: если мы хотим, чтобы какое-то явление длилось короткое время t, нужно, чтобы в нём участвовали энергии как минимум ℏ /t.

Чем меньше длится явление, тем более высокие энергии должны в нём участвовать.

Значение постоянной Планка можно переписать в электронвольтах (эВ) — единицах энергии, привычных для мира элементарных частиц: ℏ ≈ 6,6·10 −16 эВ·с. Иными словами, процессу длительностью 1 ас = 1000 зс требуется энергия порядка кэВ, а при длительности в тысячу раз меньше, 1 зс, требуется энергия в тысячу раз больше, порядка МэВ.

Эти значения намного больше тепловой энергии частицы при комнатной температуре (300 К ≈ 0,025 эВ) и энергий фотонов видимого света (2–3 эВ). Однако нужными энергиями обладают самые глубинные электроны в тяжелых атомах или электромагнитные волны в жестком рентгеновском диапазоне. Поэтому когда удается из атома выбить самый глубинный электрон, то вся электронная оболочка начинает искажаться за время из зептосекундного диапазона. Впрочем, полная ее перестройка и успокоение всё равно потребуют аттосекундных времен.

Тут встает вопрос о том, как можно экспериментально исследовать такие быстрые процессы. В последние годы физики пытаются разработать новые методики получения рентгеновских вспышек зептосекундной длительности. Особенно перспективными кажутся самые современные источники когерентного излучения — лазеры на свободных электронах. Однако это пока остается светлой мечтой — до прощупывания зептосекундного диапазона прямыми измерительными методами физика пока не добралась, хотя она уже близка к этому.

Другая область физики, где соотношение неопределенностей энергия–время работает на полную катушку, — это физика элементарных частиц. Подавляющее большинство известных частиц нестабильны и распадаются почти сразу после своего рождения. Так вот, по соотношению неопределенностей у такой частицы нет какой-то фиксированной, строго определенной массы. Чем более нестабильна частица, чем меньше она живет — тем больше у нее разброс массы. В физике частиц этот разброс называется забавным термином ширина распада. Для самых короткоживущих частиц ширину распада можно измерить экспериментально и отсюда уже сосчитать их время жизни.

То же соотношение неопределенностей, но для нестабильных частиц: чем короче их время жизни, тем больше неопределенность массы

Что такое соотношение в физике

В физике под столкновениями понимают процессы взаимодействия между телами (частицами) в широком смысле слова, а не только в буквальном — как соприкосновение тел. Сталкивающиеся тела на большом расстоянии являются свободными. Проходя друг мимо друга, тела взаимодействуют между собой, в результате могут происходить различные процессы — тела могут соединиться в одно тело (абсолютно неупругий удар), могут возникать новые тела и, наконец, может иметь место упругое столкновение, при котором тела после некоторого сближения вновь расходятся без изменения своего внутреннего состояния. Столкновения, сопровождающиеся изменением внутреннего состояния тел, называются неупругими. Тела (частицы), участвующие в столкновении, характеризуются (до и после столкновения) импульсами и энергиями. Процесс столкновения сводится к изменению этих величин в результате взаимодействия. Законы сохранения энергии и импульса позволяют достаточно просто устанавливать соотношения между различными физическими величинами при столкновении тел. Особенно ценным здесь является то обстоятельство, что зачастую законы сохранения могут быть использованы даже в тех случаях, когда действующие силы неизвестны. Так обстоит дело, например, в физике элементарных частиц.

Происходящие в обычных условиях столкновения макроскопических тел почти всегда бывают в той или иной степени неупругими – уже хотя бы потому, что они сопровождаются некоторым нагреванием тел, т. е. переходом части их кинетической энергии в тепло. Тем не менее, в физике понятие об упругих столкновениях играет важную роль. С такими столкновениями часто приходится иметь дело в физическом эксперименте в области атомных явлений, да и обычные столкновения можно часто с достаточной степенью точности считать упругими.

Сохранение импульса тел (частиц) при столкновении обусловлено тем, что совокупность тел, участвующих в столкновении, составляет либо изолированную систему, т. е. на тела, входящие в систему, не действуют внешние силы, либо замкнутую: внешние силы отличны от нуля, а сумма внешних сил равна нулю. Несколько сложнее обстоит дело с применением закона сохранения энергии при столкновениях. Обращение к сохранению энергии требует порой учёта различных форм внутренней энергии.

Можно сказать, что действие законов сохранения импульса и энергии в процессах столкновения подтверждено широким спектром опытных данных.

Неупругие столкновения

Два куска пластилина массами `m_1` и `m_2`, летящие со скоростями `vecv_1` и `vecv_2` слипаются. Найдите наибольшее `Q_max` и наименьшее количество `Q_min` теплоты, которое может выделиться в результате абсолютно неупругого соударения.

Рассмотрим абсолютно неупругое соударение («слипание») тел, движущихся в ЛСО скоростями `vecv_1` и `vecv_2` соответственно. В процессе абсолютно неупругого соударения импульс системы сохраняется.

Отсюда находим скорость составного тела

Закон сохранения энергии принимает вид

Из приведенных соотношений находим убыль кинетической энергии

здесь `mu=(m_1m_2)/(m_1+m_2)` — приведенная масса системы тел.

Итак, при абсолютно неупругом соударении во внутреннюю энергию переходит кинетическая энергия тела приведенной массы, движущегося с относительной скоростью.

Убыль механической энергии достигает наибольшей величины

при `vecv_1 uarr darr vecv_2`.

Убыль механической энергии будет наименьшей

при `vecv_1 uarr uarr vecv_2`.

Упругие столкновения

На гладкой горизонтальной поверхности лежит гладкая шайба массой `M`. На него налетает гладкая шайба массой `m`, движущийся со скоростью `vec v`. Происходит упругий центральный удар шайб. Найдите скорости `vecv_1` и `vecv_2` шайб после соударения. При каком условии налетающая шайба будет двигаться после соударения в прежнем направлении?

Задачу рассмотрим в ЛСО, ось `Ox` которой направим по линии центров шайб в момент соударения. Внешние силы, действующие на шайбы в процессе соударения, это силы тяжести и силы нормальной реакции опоры. Их сумма равна нулю. Следовательно, импульс системы шайб в процессе взаимодействия не изменяется. По закону сохранения импульса `m vec v = m vecv_1 + M vecv_2`.

Переходя к проекциям на ось `Ox`, получаем `mv = mv_(1x) + Mv_2`, здесь учтено, что направление скорости `vecv_1` налетающей шайбы после соударения не известно. По закону сохранения энергии

Полученные соотношения перепишем в виде

`m(v^2 — v_(1x)^2) = Mv_2^2`.

Разделив второе равенство на первое `(v != v_(1x))`, приходим к линейной системе `v_2 = v + v_(1x)`, `m(v — v_(1x)) = Mv_2`, решение которой имеет вид

`v_(1x) = (m — M)/(m + M) v`, `v_2 = (2m)/(m + M) v`.

Налетающая шайба будет двигаться после соударения в прежнем направ­лении `(v_(1x) > 0)` при `m > M`, т. е. если масса налетающей шайбы больше массы по­коящейся шайбы.

Две гладкие упругие круглые шайбы движутся поступательно по гладкой горизонтальной поверхности со скоростями `vecv_1` и `vecv_2`. Найдите скорости `vecv_1^’` и `vecv_2^’` шайб после абсолютно упругого нецентрального соударения. Массы шайб `m_1` и `m_2`.

Задачу рассмотрим в ИСО, оси координат `Ox` и `Oy` которой лежат в горизонтальной плоскости, при этом ось `Ox` направлена по линии центров шайб в момент соударения (рис. 16).

В течение времени соударения на систему шайб действуют только вертикальные внешние силы: это силы тяжести и силы нормальной реакции. Их сумма равна нулю. Тогда импульс системы шайб в процессе взаимодействия сохраняется

`vecp_1 + vecp_2 = vecp_1^’ + vecp_2^’`,

здесь `vecp_1 = m_1 vecv_1`, `vecp_2 = m_2 vecv_2`, `vecp_1^’ = m_1 vecv_1^’`, `vecp_2^’ = m_2 vecv_2^’` — импульсы шайб до и после соударения.

Так как шайбы идеально гладкие, то в процессе соударения внут­ренние силы -силы упругого взаимодействия — направлены только по оси `Ox`. Эти силы не изменяют `y`-составляющие импульсов шайб. Тогда из `p_(1y) = p_(1y)^’`, `p_(2y) = p_(2y)^’` находим `y`-составляющие скоростей шайб после соударения

`vecv_(1y)^’ = v_(1y)`, `v_(2y)^’ = v_(2y)`,

т. е. в проекции на ось `Oy` скорости шайб в результате соударения не изменились.

Найдём `x`-составляющие скоростей шайб после упругого соударения. При таком соударении сохраняется кинетическая энергия

`(m_1 (v_(1x)^2 + v_(1y)^2))/2 + (m_2 (v_(2x)^2 + v_(2y)^2))/2 = (m_1 ((v_(1x)^’)^2 + (v_(1y)^’)^2))/2 + (m_2 ((v_(2x)^’)^2 + (v_(2y)^’)^2))/2`.

С учётом равенства `y`-составляющих скоростей шайб до и после со­ударения последнее равенство принимает вид

`(m_1 v_(1x)^2)/2 + (m_2 v_(2x)^2)/2 = (m_1 (v_(1x)^’)^2)/2 + (m_2 (v_(2x)^’)^2)/2`.

Обратимся к закону сохранения импульса и перейдём к проекциям им­пульсов шайб на ось `Ox`

`m_1 v_(1x) + m_2 v_(2x) = m_1 v_(1x)^’ + m_2 v_(2x)^’`.

Таким образом, исходная задача сведена к задаче об абсолютно упру­гом центральном ударе: именно такой вид приняли бы законы сохра­нения энергии и импульса, если бы скорости шайб были направлены по линии центров. Полученную нелинейную систему уравнений можно свести к линейной. Для этого следует (как и в предыдущей задаче) в обоих уравнениях по одну сторону знака равенства объединить слагае­мые, относящиеся к первой шайбе, а по другую — ко второй, и разде­лить `(v_(1x) != v_(1x)^’)` полученные соотношения. Это приводит к линей­ному уравнению

`v_(1x) + v_(1x)^’ = v_(2x) + v_(2x)^’`.

Решая систему из двух последних уравнений, находим

`v_(1x)^’ = ((m_1 — m_2) v_(1x) + 2m_2 v_(2x))/(m_1 + m_2)`,

`v_(2x)^’ = (2m_1 v_(1x) + (m_2 — m_1) v_(2x))/(m_1 + m_2)`.

Полученные соотношения для `v_(1x)^’`, `v_(1y)^’` и `v_(2x)^’`, `v_(2y)^’` решают вопрос о проекциях и величинах скоростей шайб после соударения

а также об углах `alpha_1` и `alpha_2`, которые векторы скорости `vecv_1^’` и `vecv_2^’` образуют с положительным направлением оси `Ox`:

`bbb»tg» alpha_1 = (v_(1y)^’)/(v_(1x)^’)`, `bbb»tg» alpha_2 = (v_(2y)^’)/(v_(2x)^’)`.

Построенное в общем виде решение задач упругого центрального и нецентрального соударений открывает дорогу к анализу целого ряда задач, для которых рассмотренная модель соответствует характеру взаимодействия тел (частиц).

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *